Question

【题目】已知椭圆的长轴长为4，直线被椭圆截得的线段长为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的右顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于两点（点不同于椭圆的右顶点），证明：直线过定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）由椭圆的对称性知两点关于原点对称，不妨设在第一象限，由弦长可得，代入，再结合可解得；

（2）只要设出直线方程：，把代入椭圆方程可解得M点坐标，同理可解得N点坐标，由两点求出直线MN的方程（注意分类讨论MN与垂直和不垂直两种情形），通过直线方程可观察出直线所过定点．

详解：（1）根据题意，设直线与题意交于两点.不妨设点在第一象限，又长为，

∴，∴，可得，

又，

∴，故题意的标准方程为，

（2）显然直线的斜率存在且不为0，设，

由得，∴，

同理可得

当时，，所以直线的方程为

整理得，所以直线

当时，直线的方程为，直线也过点

所以直线过定点.