Question

【题目】【2017广东佛山二模】设函数，其中，是自然对数的底数.

（Ⅰ）若是上的增函数，求的取值范围；

（Ⅱ）若，证明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（I）由于函数单调递增，故导函数恒为非负数，分离常数后利用导数求得的最小值，由此得到的取值范围；（II）将原不等式，转化为，令，求出的导数，对分成两类，讨论函数的最小值，由此证得，由此证得.

试题解析：

（Ⅰ），是上的增函数等价于恒成立.

令，得，令（）.以下只需求的最大值.

求导得，

令，，是上的减函数，

又，故1是的唯一零点，

当，，，递增；当，，，递减；

故当时，取得极大值且为最大值，

所以，即的取值范围是.

（Ⅱ）.

令（），以下证明当时，的最小值大于0.

求导得.

①当时，，；

②当时，，令，

则，又，

取且使，即，则，

因为，故存在唯一零点，

即有唯一的极值点且为极小值点，又，

且，即，故，

因为，故是上的减函数.

所以，所以.

综上，当时，总有.