Question

【题目】一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8m，拱桥内水面宽32m，船只在水面以上部分高6.5m，船顶部宽8m，故通行无阻，如图所示．

（1）建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；
（2）近日水位暴涨了2m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m， ）

Answer 1

【答案】
（1）解：在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴，

过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，

如图所示，则A，B，D三点的坐标分别为（﹣16，0），（16，0），（0，8）．

又圆心C在y轴上，故可设C（0，b）．

因为|CD|=|CB|，所以 ，解得b=﹣12．

所以圆拱所在圆的方程为：x2+（y+12）2=（8+12）2=202=400

（2）解：当x=4时，求得y≈7.6，即桥拱宽为8m的地方距正常水位时的水面约7.60m，距涨水后的水面约5.6m，因为船高6.5m，顶宽8m，

所以船身至少降低6.5﹣5.6=0.9（m）以上，船才能顺利通过桥洞．

【解析】（1）在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴，过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系建立坐标系，利用|CD|=|CB|，确定圆的方程；（2）令x=4时，求得y≈7.6，即桥拱宽为8m的地方距正常水位时的水面约7.60m，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少．