Question

如图，F₁，F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的焦点，P为椭圆上的点，PF₁⊥OX轴，且OP和椭圆的一条长轴顶点A和短轴顶点B的连线AB平行．
（1）求椭圆的离心率e
（2）若Q是椭圆上任意一点，证明∠F₁QF₂≤

π

2

（3）过F₁与OP垂直的直线交椭圆于M，N，若△M F₂N的面积为20

3

，求椭圆方程．

Answer 1

分析：（1）根据题意可表示出MP坐标，进而表示出直线OP的斜率和AB的斜率利用二者相等求得b和c的关系进而求得a和c的关系，则离心率可得．
（2）利用椭圆的定义可表示出|F_1Q|+|F_2Q|，进而利用余弦定理表示出cos∠F₁QF₂，利用基本不等式可得cos∠F₁QF₂的范围进而求得∠F₁QF₂的范围．
（3）设出直线MN的方程，代入椭圆方程消去x整理后利用韦达定理表示出y₁+y₂和y₁•y₂，进而求得|y₁-y₂|代入三角形面积公式求得求得c，进而可分别求得a和b，则椭圆的方程可得．

解答：解：（1）易得 P(-c，

b2

a

)，kOP=

b2

-ac

，kAB=-

b

a

，
∴-

b2

ac

=-

b

a

⇒b=c⇒a=

2

c，
∴e=

c

a

=

2

2

．
（2）证明：由椭圆定义得：|F₁Q|+|F₂Q|=2a，
所以cos∠F1QF2=

|F1Q|2+|F2Q|2-|F1F2|2

2|F1Q||F2Q|

=

4a2-4c2-2|F1Q||F2Q|

2|F1Q||F2Q|

=

2b2

|F1Q||F2Q|

-1，
因为|F1Q||F2Q|≤(

|F1Q|+|F2Q|

2

)2=a2，
∴cos∠F1QF2≥

2b2

a2

-1=

2c2

2c2

-1=0，
∴∠F1QF2≤

π

2

．
（3）解：设直线MN的方程为 y=

a

b

（x+c），即y=

2

(x+c)．
代入椭圆方程消去x得：

(1- 1 2 y+c)2

a2

+

y2

b2

=1，
整理得：5y2-2

2

cy-2c2=0，
∴y1+y2=

2 2 c

5

，y1•y2=-

2c2

5

．
∴(y1-y2)2=(

2 2 c

5

)2+

8c2

5

=

48c2

25

．
因为S△PF2Q=

1

2

•2c•|y1-y2|=

4 3 c2

5

=20

3

，
所以c²=25
因此a²=50，b²=25，
所以椭圆方程为

x2

50

+

y2

25

=1．

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，解决直线与圆锥曲线的位置关系一般的思路是将直线与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理找突破口．考查了学生综合分析问题和计算能力．