Question

（文）定义在R上函数f（x）对任意实数x、y∈R都有f（x+y）=f（x）•f（y），且当x＜0时，f（x）＞1．
（1）证明当x＞0时，0＜f（x）＜1；
（2）判断函数f（x）的单调性并证明；
（3）如果对任意实数x、y有f（x²）•f（y²）≤f（axy）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令x=0，y=-1，可求得f （0）=1，再令x＞0得-x＜0，利用已知当x＜0时，f（x）＞1即可证得x＞0时，0＜f（x）＜1；
（2）设x₁、x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，作差f （x₂）-f （x₁）=f[x₁+（x₂-x₁）]-f （x₁）=[f （x₂-x₁）-1]f （x₁）结合题意，判断其符号即可；
（3）依题意，f（x²）•f（y²）≤f（axy）恒成立，函数f（x）为减函数?x²+y²≥axy 对任意实数x、y恒成立?|a|≤|

x

y

|+|

y

x

|对任意实数x、y恒成立，由基本不等式即可求实数a的取值范围．

解答：证明：（1）令x=0，y=-1则f （0-1）=f （0）•f （-1）（∵f （-1）≠0）⇒f （0）=1         …（2分）
当 x＜0时，f （x）＞1＞0，
当 x＞0时，-x＜0
∴f （-x）＞1＞0，又f （0）=f （-x）•f （x）=1，
∴0＜f （x）=

1

f(-x)

＜1，即对任意x＞0，恒有0＜f （x）＜1                                  …（5分）
（2）f （x）在R上是减函数                                          …（7分）
证明：设x₁、x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂；
f （x₂）-f （x₁）=f[x₁+（x₂-x₁）]-f （x₁）
=f （x₂-x₁）•f （x₁）-f （x₁）=[f （x₂-x₁）-1]f （x₁），
∵x₂-x₁＞0，
∴f （x₂-x₁）＜1，
∴f （x₂）-f （x₁）＜0，
∴[f （x₂-x₁）-1]f （x₁）＜0，
∴f （x）在（-∞，+∞）上是减函数．                          …（10分）
（3）∵f （x²）•f （y²）=f （x²+y²）≤f （axy），
∴x²+y²≥axy 对任意实数x、y恒成立，
即x²+y²≥|axy|=|a||x||y|对任意实数x、y恒成立，
∴|a|≤|

x

y

|+|

y

x

|对任意实数x、y恒成立，
∴|a|≤2，即-2≤a≤2为所求．…（14分）

点评：本题考查抽象函数的应用，考查函数的单调性的判断与证明，突出考查等价转化思想的运用，考查基本不等式，综合性强，难度大，属于难题．