Question

【题目】已知过抛物线 的焦点F，斜率为 的直线交抛物线于 两点，且 .
（1）求该抛物线E的方程；
（2）过点F任意作互相垂直的两条直线 ，分别交曲线E于点C,D和M,N.设线段 的中点分别为P,Q，求证：直线PQ恒过一个定点.

Answer 1

【答案】
（1）解：抛物线的焦点 ，∴直线AB的方程为：
联立方程组 ，消元得： ，
∴
∴ ，解得 .
∵ ，∴抛物线E的方程为：
（2）解：设C,D两点坐标分别为 ，则点P的坐标为 ..
由题意可设直线 的方程为 .
由 ，得 .

因为直线 与曲线E于C,D两点，所以 .
所以点P的坐标为 .
由题知，直线 的斜率为 ，同理可得点Q的坐标为 .
当 时，有 ，此时直线PQ的斜率 .
所以，直线PQ的方程为 ，整理得 .
于是，直线PQ恒过定点 ；
当 时，直线PQ的方程为 ，也过点 .
综上所述，直线PQ恒过定点 .
【解析】（1）设出直线方程，联立抛物线与直线，得到一元二次方程，利用韦达定理得到坐标间的关系，最后用两点之间的距离公式求得p的值。
（2）设出直线l1和点C，D的坐标，联立直线和抛物线方程，得到点P的坐标，同理求得点Q的坐标，由此得出直线PQ的方程，检验即可发现所过定点。