Question

如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且         
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的余弦值；
（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.

Answer 1

解法一：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.…………
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，
∴，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，∴，
∴在Rt△ABC中，，∴.
∴在Rt△ADE中，， 

∴与平面所成的角的余弦值为.…………
（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角的平面角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.      
∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，
故存在点E使得二面角是直二面角. …………
解法二：如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，
设，由已知可得
.
（Ⅰ）∵，     
∴，∴BC⊥AP.
又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.…………
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，
∴，
∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵，
∴.
∴与平面所成的角的余弦值为.………
（Ⅲ）同解法1.

略