Question

【题目】设集合.若的非空子集中奇数的个数大于偶数的个数，则称是“好的”.试求的所有“好的”子集的个数（答案写成最简结果）.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

对分奇、偶两种情况讨论.

（1）当（为非负整数），这时中奇元素恰比偶元素多一个.设是的任何一个子集，则和中有且只有一个子集是“好的”，从而的“好子集”的个数为.

（2）当（为正整数），中奇元素个数与偶元素个数相等.定义为“坏子集”为当且仅当中奇元素个数小于偶元素的个数，而定义为“中性子集”（包括空集）为当且仅当中奇元素个数与偶元素个数相等.

由对称性知，的“好子集”个数与“坏子集”的个数必定相等，所以有

“好子集”个数

.

其中公式可证明如下：考虑恒等式两边中项的系数，由二项式定理知，左边式中项的系数是，而右边式中的系数是，故得恒等式.

本题答案可统一地写为

其中是不大于的最大整数）.

注：由恒等式可得组合恒等式：

（注意当时，）.这种利用模型来建立和证明组合恒等式的方法（叫做“模型法”）在组合数学中是很常用的，也很重要，应该熟悉进而掌握它.如果是个奇数和个偶数组成，那么的“好子集”个数又为多少呢？请读者自己考虑之.