Question

【题目】已知椭圆C：过点，离心率为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同两点M，N，记△F1MN的内切圆的面积为S，求当S取最大值时直线l的方程，并求出最大值．

Answer 1

【答案】(1)；（2），.

【解析】

（1）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，即可得到椭圆方程；

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），△F1MN的内切圆半径为r，运用等积法和韦达定理，弦长公式，结合基本不等式即可求得最大值．

（Ⅰ）由题意得+=1，=，a2=b2+c2，

解得a=2，b=，c=1，

椭圆C的标准方程为+=1；

（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），△F1MN的内切圆半径为r，

则=（|MN|+|MF1|+|NF1|）r=×8r=4r，

所以要使S取最大值，只需最大，

则=|F1F2||y1﹣y2|=|y1﹣y2|，

设直线l的方程为x=ty+1，

将x=ty+1代入+=1；

可得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0（*）

∵△＞0恒成立，方程（*）恒有解，

y1+y2=，y1y2=，

==，

记m=（m≥1），

==在[1，+∞）上递减，

当m=1即t=0时，（）max=3，

此时l：x=1，Smax=π．