Question

（2009•黄浦区二模）某工厂生产甲、乙两种产品所需原材料吨数及一周内可用工时总量如下表所示．

	每吨甲产品消耗	每吨乙产品消耗	每周可供使用的总量
原材料（吨数）	3	2	16
生产时间（小时）	5	1	15

已知销售甲、乙产品每吨的利润分别为5万元和2万元．试问生产甲、乙两种产品各多少吨时，该厂每周获得的利润最大？

Answer 1

分析：设工厂一周内生产甲产品x吨、乙产品y吨，每周所获利润为z万元，依据题意，得约束条件为

3x+2y≤16 5x+y≤15 x≥0 y≥0

，和目标函数z=5x+2y，然后求得最优解，即求得利润的最大值和最大值的状态．

解答：解：设工厂一周内生产甲产品x吨、乙产品y吨，每周所获利润为z万元．　　（1分）
依据题意，得约束条件为

3x+2y≤16 5x+y≤15 x≥0 y≥0

．　　　　　　　　　　　　（4分）
求目标函数z=5x+2y的最大值．     　 　　    （6分）
画出约束条件的可行域，如图阴影部分所示．　    （8分）
将直线5x+2y=0向上平移，可以发现，经过可行域的最后一个点B（2，5）时，函数z=5x+2y的值最大（也可通过代凸多边形端点进行计算求得），最大值为5×2+2×5=20（万元）．　　　　　　　　（11分）
所以每周生产甲产品2吨，乙产品5吨时，工厂可获得的周利润最大（20万元）．（12 分）

点评：本题主要考查用简单的线性规划研究目标函数的最大和最小值，关键是通过平面区域，求得最优解，属于线性规划的应用题．