Question

【题目】已知数列，，数列满足，n．

（1）若，，求数列的前2n项和；

（2）若数列为等差数列，且对任意n，恒成立．

①当数列为等差数列时，求证：数列，的公差相等；

②数列能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）①见解析②数列不能为等比数列，见解析

【解析】

（1）根据数列通项公式的特点，奇数项为等差数列，偶数项为等比数列，选用分组求和的方法进行求解；

（2）①设数列的公差为，数列的公差为，当n为奇数时，得出；当n为偶数时，得出，从而可证数列，的公差相等；

②利用反证法，先假设可以为等比数列，结合题意得出矛盾，进而得出数列不能为等比数列．

（1）因为，，所以，且，

由题意可知，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

数列是首项和公比均为4的等比数列，

所以；

（2）①证明：设数列的公差为，数列的公差为，

当n为奇数时，，

若，则当时，，

即，与题意不符，所以，

当n为偶数时，，，

若，则当时，，

即，与题意不符，所以，

综上，，原命题得证；

②假设可以为等比数列，设公比为q，

因为，所以，所以，，

因为当时，

，

所以当n为偶数，且时，，

即当n为偶数，且时，不成立，与题意矛盾，

所以数列不能为等比数列．