Question

已知f（x）=ax³-2ax²+b，（a≠0）．
（Ⅰ）求出f（x）的极值点，并指出其是极大值点还是极小值点；
（Ⅱ）若f（x）在区间[-2，1]上最大值是5，最小值是-11，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）分类讨论参数a，满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，从而求出极值；
（2）先求出f（x）在区间[-2，1]的极值，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值，建立两个等量关系，求出参数a，b即可．

解答：解（Ⅰ）∵f（x）=ax³-2ax²+b，
∴f′（x）=3ax²-4ax=ax（3x-4）
令f′（x）=0，得x1=0，x2=

4

3

ia＜0时

函数的极值点是0，

4

3

，0是极小值点，

4

3

是极大值点（5分）
ii、a＞0时
同理可以验证0是极大值点，

4

3

是极小值点（6分）
（Ⅱ）f（x）在区间[-2，1]上最大值是5，
最小值是-11，f′（x）=0，x1=0，x2=

4

3

∉[-2，1]
若a＞0，
（8分）

因此f（0）必为最大值，∴f（0）=5，得b=5，
∵f（-2）=-16a+5，f（1）=-a+5，∴f（1）＞f（-2）
∴f（-2）=-16a+5=-11，∴a=1
∴f（x）=x³-2x²+5；（11分）
若a＜0，同理可得f（0）为最小值，∴f（0）=-11，得b=-11，
∵f（-2）=-16a+5，f（1）=-a+5，∴f（-2）＞f（1）
∴f（-2）=f（x）_max=5，∴a=-1∴f（x）=-x³+2x²-11．（14分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及待定系数法求函数解析式和利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．