Question

设函数f(x)=sin(

πx

4

-

π

6

)-2cos2

πx

8

+1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）若y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当x∈[0，

4

3

]时y=g（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用两角差的正弦公式及二倍角公式及asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)化简三角函数；再利用三角函数的周期公式求出周期．
（2）在y=g（x）上任取一点，据对称行求出其对称点，利用对称点在y=f（x）上，求出g（x）的解析式，求出整体角的范围，据三角函数的有界性求出最值．

解答：解：（1）f（x）=sin

π

4

xcos

π

6

-cos

π

4

xsin

π

6

-cos

π

4

x=

3

2

sin

π

4

x-

3

2

cos

π

4

x=

3

sin(

π

4

x-

π

3

)
故f（x）的最小正周期为T=

2π

π 4

=8
（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=1的对称点（2-x，g（x））．
由题设条件，点（2-x，g（x））在y=f（x）的图象上，
从而g(x)=f(2-x)=

3

sin[

π

4

(2-x)-

π

3

]=

3

sin[

π

2

-

π

4

x-

π

3

]=

3

cos(

π

4

x+

π

3

)
当0≤x≤

4

3

时，

π

3

≤

π

4

x+

π

3

≤

2π

3

时，
因此y=g（x）在区间[0，

4

3

]上的最大值为gmax=

3

cos

π

3

=

3

2

点评：本题考查常利用三角函数的二倍角公式及公式asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)化简三角函数、利用轴对称性求函数的解析式、
利用整体角处理的思想求出最值．