Question

【题目】如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF=DE，点M为棱AE的中点．

（1）求证：平面BMD∥平面EFC；

（2）若AB=1，BF=2，求三棱锥A-CEF的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；

（2）．

【解析】

（1）设AC与BD交于点N，则N为AC的中点，可得MN∥EC．由线面平行的判定，可得MN∥平面EFC．再由BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF=DE，可得BDEF为平行四边形，得到BD∥EF．由面面平行的判定，可得平面BDM∥平面EFC；

（2）连接EN，FN．在正方形ABCD中，AC⊥BD，再由BF⊥平面ABCD，可得BF⊥AC．从而得到AC⊥平面BDEF，然后代入棱锥体积公式求解．

（1）证明：设AC与BD交于点N，则N为AC的中点，而M为AE中点

∴MN∥EC．

∵MN平面EFC，EC平面EFC，

∴MN∥平面EFC．

∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF=DE，

∴BF∥DE，BF=DE，

∴BDEF为平行四边形，∴BD∥EF．

∵BD平面EFC，EF平面EFC，

∴BD∥平面EFC．

又∵MN∩BD=N，

∴平面BDM∥平面EFC；

（2）解：连接EN，FN．在正方形ABCD中，AC⊥BD，

又∵BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AC．

∵BF∩BD=B，

∴AC⊥平面BDEF，且垂足为N，

∴，

∴三棱锥A-CEF的体积为．