Question

如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=

1

2

AD=1．
（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；
（2）求二面角A-CD-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先将BF平移到CE，则∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角，在三角形CED中求出此角即可；
（2）设Q为CD的中点，连接PQ，EQ，易证∠EQP为二面角A-CD-E的平面角，在直角三角形EQP中求出此角即可

解答：解：（1）由题设知，BF∥CE，
所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角．
设P为AD的中点，连接EP，PC．
因为FE₌^∥AP，所以FA₌^∥EP，同理AB₌^∥PC．
又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD．
而PC，AD都在平面ABCD内，
故EP⊥PC，EP⊥AD．由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，
则EP=PC=PD=a，CD=DE=EC=

2

a，故∠CED=60°．
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°．
（2）取CD的中点Q，连接PQ，EQ
由PC=PD，CE=DE
∴PQ⊥CD，EQ⊥CD
∴∠EQP为二面角A-CD-E的平面角，
由ED=CD=

2

a，在等边△ECD中EQ=

6

2

a
在等腰Rt△CPD中，PQ=

2

2

a
在Rt△EPQ中，cos∠EQP=

PO

EQ

=

3

3

．
故二面角A-CD-E的余弦值为

3

3

．

点评：本小题考查线线垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力．