Question

某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．
（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；
（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率．

Answer 1

分析：（1）本题是一个古典概型，某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为3⁴．从4个部门中任选2个作为1组，、另外2个部门各作为1组，共3组，共有C₄²种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法，
（2）先从3个景区任意选定2个，共有C₃²种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：①从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，②从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区．列出结果．

解答：解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为3⁴．
由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等．
（I）从4个部门中任选2个作为1组，
另外2个部门各作为1组，共3组，共有C₄²=6种分法，
每组选择不同的景区，共有3！种选法，
∴3个景区都有部门选择可能出现的结果数为C₄²•3!
记“3个景区都有部门选择”为事件A₁，
∴事件A₁的概率为
P（A₁）=

C 2 4 •3!

34

=

4

9

．
（II）先从3个景区任意选定2个，共有C₃²=3种选法，
再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：
第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有C₄¹•2!种不同选法．
第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有C₄²种不同选法，
∴恰有2个景区有部门选择可能的结果为3（C₄¹•2!+C₄²）．
∴P（A₂）=

3( C 2 4 •2!+ C 2 4 )

34

=

14

27

．

点评：本题也可以这样解：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A₂和A₃，则事件A₃的概率为P（A₃）=

3

34

=

1

27

，事件A₂的概率为P（A₂）=1-P（A₁）-P（A₃）=1-

4

9

-

1

27

=

14

27

．