Question

【题目】已知椭圆： （）的上顶点到右顶点的距离为，左焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于， 两点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程及的取值范围；

（Ⅱ）在轴上是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在定点．

【解析】试题分析：（1）运用离心率公式和焦点坐标，直接求出a，b；

（2）利用设而不求的方法，表示出，设出要求的定值，利用对应项系数成比例明确出点的坐标

试题解析：

（Ⅰ）由已知可得，得， ， ．

过点且斜率为的直线： ．

由，消去得．

则

或，

所以的取值范围是

（Ⅱ）设， ，

则由（Ⅰ）知， ， ．

又，

．

假设存在点，则， ，

所以

，

要使得（为常数），只要，

从而，

整理得，解得，从而，

故存在定点．