Question

如图所示，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

2

2

，左焦点为F₁（-1，0），右焦点为F₂（1，0），短轴两个端点为A、B．与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k₁、k₂，且k1k2=

3

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．
（3）当弦MN的中点P落在△MF₁F₂内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值．

Answer 1

分析：（1）由焦点坐标可得c值，由离心率可得a值，据a，b，c关系可求得b；
（2）设直线l的方程为y=kx+b，M、N坐标分别为 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立直线方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及斜率公式可用k，b表示出等式k1k2=

3

2

，由此可求得b值，进而可求得直线所过定点；
（3）由（2）中的一元二次方程可求得判别式大于0求得k的范围，设弦AB的中点P坐标则可分别表示出x₀和y₀，易判断p点在x轴上方，从而得一关于x₀，y₀的不等式组，将坐标代入，解出即可；

解答：解：（1）由题意可知：椭圆C的离心率e=

c

a

=

2

2

，c=1，∴b²=1，a²=2，
故椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）设直线l的方程为y=kx+b，M、N坐标分别为 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

x2 2 +y2=1 y=kx+b

得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，
∴x1+x2=-

4kb

1+2k2

，x1•x2=

2b2-2

1+2k2

，
∵k1=

y1+1

x1

，k2=

y2+1

x2

．
∴k1•k2=

(kx1+1+b)

x1

•

(kx2+1+b)

x2

=

k2x1•x2+(1+b)k(x1+x2)+(1+b)2

x1•x2

=

3

2

，
将韦达定理代入，并整理得

2k2(b-1)-4k2b+(1+2k2)(b+1)

b-1

=3，解得b=2．
∴直线l与y轴相交于定点（0，2）；
（3）由（2）中（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=（1+2k²）x²+8kx+6=0，其判别式△＞0，得k2＞

3

2

．①
设弦AB的中点P坐标为（x₀，y₀），则x0=

-4k

1+2k2

，y0=kx0+2=

2

1+2k2

＞0，
∵弦MN的中点P落在△MF₁F₂内（包括边界），∴

y0≤x0+1 y0≤-x0+1

将坐标代入，整理得

2k2-4k-1≥0 2k2+4k-1≥0

解得

k≥1+ 6 2 或k≤1- 6 2 k≥-1+ 6 2 或k≤-1- 6 2

②，
由①②得所求范围为k≥1+

6

2

或k≤-1-

6

2

；

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生转化与化归思想的运用和基础知识的熟练掌握．