Question

已知函数f(x)=

1

2

x2+3lnx+(a-6)x在[3，+∞）上是增函数，
（1）求实数a的取值范围；
（2）在（1）的结论下，设g(x)=|ex-a|+

1

2

a2，x∈[0，ln3]，求函数g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）d的导函数，令导函数大于等于0在[3，+∞）上恒成立，分离出a，构造新函数，通过新函数的导数求出函数的最大值，令大于等于最大值即得到a的范围．
（2）通过换元将函数转化为关于t的一次函数形式，通过对a的讨论将绝对值符号去掉，利用一次函数的单调性求出函数的最值．

解答：解：（1）f’（x）=x+

3

x

+a-6
因为f（x）在[3，+∞）上是增函数
所以x+

3

x

+a-6≥0在[3，+∞）上恒成立
即a≥6-x-

3

x

在[3，+∞）上恒成立
构造一个新函数F（x）=6-x-

3

x

  x∈[3，+∞）
∵F′(x)=-1+

3

x2

＜0
∴F（x）在[3，+∞）是减函数
所以当x=3时，函数F（x）有最大值2
所以a≥2
（2）令t=e^x，R（t）=|t-a|+

1

2

a2 t∈[1.3]
当a≥2且a≤3时，R(t)=

-t+a+ 1 2 a2 (1≤t＜a) t-a+ 1 2 a2(a＜t≤3)

∴R（t）最小为R（a）=

1

2

a2
当a＞3，R（t）=-t+a+

1

2

a2
R（t）最小为R（3）=-3+a+

1

2

a2
总之，函数的最小值为：当2≤a＜3时，最小值为

1

2

a2；当a≥3时，函数的最小值为-3+a+

1

2

a2

点评：解决函数的单调性已知求参数的范围问题常转化为导函数大于等于0或小于等于0恒成立，转化为不等式恒成立问题；解决不等式恒成立问题一般是将参数分离出来，转化为求函数的最值．