Question

若f（x）=x²-x+b，且f（log₂a）=b，f（a）=4（a＞0且a≠1），
（1）求a，b的值；
（2）求的值域；
（3）求的单调区间．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（log₂a）=b，f（a）=4代入，结合a＞0且a≠1可求a，b
（2）由（1）可得，y=log₂x，结合及对数函数的单调性可求函数的值域
（3）由=，结合二次函数与对数函数的单调性及复合函数的单调性可求函数的单调区间
解答：解：（1）∵f（log₂a）=b，f（a）=4
∴a²-a+b=4，
∴log₂a=1或log₂a=0（舍）
∴a=2，b=2； 
（2）由（1）可得，y=log₂x
∵
∴-1≤y≤2
故函数的值域为[-1，2]
（3）∵=
令t=x²-2x-1=（x-1）²-2，
∵函数t=x²-2x-1=（x-1）²-2对称轴x=1，则由二次函数的性质可知可得单调减区间：（-∞，1），单调递增区间：（1，+∞）
∵y=2^t为单调递增函数
由复合函数的单调性可知，函数y=的单调减区间：（-∞，1）；增区间：（1，+∞）
点评：本题主要考查了利用待定系数法求解函数的函数解析式，对数函数的值域的求解，复合函数的单调区间的求解，属于函数知识的综合应用．