Question

已知函数，其中.
（1）当时判断的单调性；
（2）若在其定义域为增函数，求正实数的取值范围；
（3）设函数，当时，若，总有成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）增函数；（2）；（3） .

解析试题分析：(1) 本小题首先求得函数的定义域，再利用导数的公式和法则求得函数的导函数，发现其在恒大于零，于是可知函数在上单调递增；(2) 本小题首先求得函数的定义域，再利用导数的公式和法则求得函数的导函数，根据函数在其定义域内为增函数，所以，，然后转化为最值得求解；（3）本小题首先分析“，，总有成立”等价于 “在上的最大值不小于在上的最大值”，于是问题就转化为求函数的最值.
试题解析：（1）的定义域为,且>0
所以f(x)为增函数.                          3分
（2），的定义域为
                     5分
因为在其定义域内为增函数，所以，

而，当且仅当时取等号，所以      9分
（3）当时，，
由得或
当时，；当时，．
所以在上，                    11分
而“，，总有成立”等价于
“在上的最大值不小于在上的最大值”
而在上的最大值为
所以有

所以实数的取值范围是                    14分
考点：1.导数公式与法则；2.函数的单调性；3.等价转化.