Question

【题目】如图，在几何体ABCDE中，BE⊥平面ABC，CD∥BE，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，且BE=AB=4，CD=2，点F在线段AC上，且AF=3FC

（1）求异面直线DF与AE所成角；
（2）求平面ABC与平面ADE所成二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题得，以点B为原点， 所在的直线分别为x，y，z轴，

建立如图的空间直角坐标系，

则B（0，0，0），A（4，0，0），C（0，4，0），E（0，0，4），

∴ ， ，

∵AF=3FC∴

∴ ∴F的坐标为（1，3，0）

∵CD∥BE且CD=2∴D的坐标为（0，4，2）

∴

设异面直线DF与AE所成角为θ，

则 ，∴ ，

∴异面直线DF与AE所成角为 ．

（2）解：平面ABC的一个法向量为 ，

设 =（x，y，z） 是平面ADE的一个法向量，

=（﹣4，4，2）， ，

则 ， ，即

令y=1，解得x=2，z=2.

设平面ABC与平面ADE所成二面角为θ，由图可知，θ为锐角，

∴

∴平面ABC与平面ADE所成二面角的余弦值为 ．

【解析】（1）以点B为原点， 所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DF与AE所成角．（2）求出平面ABC的一个法向量和平面ADE的一个法向量，利用向量法能求出平面ABC与平面ADE所成二面角的余弦值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解异面直线及其所成的角(异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系)．