Question

已知，设命题：函数在区间上与轴有两个不同的交点；命题：在区间上有最小值．若是真命题，求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

【解析】

试题分析：先由的真假性确定命题为假命题，为真命题，然后就命题为真命题进行求解，结合二次函数的零点分布来讨论，最后在取答案时取参数范围的在上的补集；对命题为真命题对的范围进行求解，对于函数解析式化为分段函数，利用分段函数的单调性来考查.

试题解析：要使函数在上与轴有两个不同的交点，

必须                                   2分

即                              4分

解得．

所以当时，函数在上与轴有两个不同的交点． 5分

下面求在上有最小值时的取值范围：

方法1：因为                      6分

①当时，在和上单调递减，在上无最小值；     7分

②当时，在上有最小值；         8分

③当时，在上单调递减，在上单调递增，

在上有最小值．                      9分

所以当时，函数在上有最小值．                 10分

方法2：因为                      6分

因为，所以．

所以函数是单调递减的．                  7分

要使在上有最小值，必须使在上单调递增或为常数．  8分

即，即．                                9分

所以当时，函数在上有最小值．                  10分

若是真命题，则是真命题且是真命题，即是假命题且是真命题．     11分

所以                             12分

解得或．                            13分

故实数的取值范围为．                      14分

考点：复合命题真假性的判断、二次函数的零点分布、分段含参函数的单调性