Question

如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15

2

海里/小时，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40海里处的B岛出发，朝北偏东θ（tanθ=

1

2

）的方向作匀速直线航行，速度为m海里/小时．
（1）若两船能相遇，求m．
（2）当m=10

5

时，求两船出发后多长时间距离最近，最近距离为多少海里？

Answer 1

分析：（1）设两船在M处相遇，利用正弦定理，即可求出BM，然后求出相遇时的时间．
（2）以A为原点，BA所在直线为y轴，建立直角坐标系，设出在t时刻甲、乙两船分别在P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）处，
求出P、Q坐标|PQ|=

(x2- x1)2+(y2- y1)2

利用配方法求出最小值．

解答：解：（1）因为tanθ=

1

2

，

sinθ cosθ = 1 2 sin2θ +cos2θ=1

，解得sinθ=

5

5

，cosθ=

2 5

5

；
甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，
设两船在M处相遇，sin∠AMB=sin(45°-θ)=sin45°cosθ-cos45°sinθ=

10

10

，
由正弦定理

AM

sinθ

=

AB

sin∠AMB

，

AM

5 5

=

40

10 10

，
∴AM=40

2

，
从而有BM=40

5

，
又时间t=

AM

15 2

=

40 2

15 2

=

8

3

，
∴m=

BM

t

=

40 5

8 3

=15

5

．
（2）以A为原点，BA所在直线为y轴，建立直角坐标系，
设在t时刻甲、乙两船分别在P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）处，
则由tanθ=

1

2

，cosθ=

2 5

5

，sinθ=

5

5

，

x1=15t y1=15t

，

x2=10 5 tsinθ=10t y2=10 5 tcosθ-40=20t-40

，
|PQ|=

(x2- x1)2+(y2- y1)2

=

(10t- 15t )2+(20t-40-15t)2

=

50t2-400t+1600

=

50(t-4)2+800

≥20

2

．
∴当且仅当t=4时|PQ|取得最小值20

2

．
即两船出发后4小时时间距离最近，最近距离为20

2

海里．

点评：本题主要考查了解三角形问题的实际应用．考查余弦定理以及配方法的应用，考查了学生综合分析问题和解决的能力．