Question

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F₁（-3，0），一条渐近线的方程是．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若以k（k≠0）为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出双曲线方程，根据焦点坐标及渐近线方程求出待定系数，即得双曲线C的方程．
（2）设出直线l的方程，代入双曲线C的方程，利用判别式及根与系数的关系求出MN的中点坐标，从而得到线段MN的垂直平分线方程，通过求出直平分线与坐标轴的交点，计算围城的三角形面积，由判别式大于0，求得k的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）解：设双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）．
由题设得，解得，所以双曲线方程为．
（Ⅱ）解：设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）．
点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）的坐标满足方程组
将①式代入②式，得，整理得（5-4k²）x²-8kmx-4m²-20=0．
此方程有两个一等实根，于是5-4k²≠0，且△=（-8km）²+4（5-4k²）（4m²+20）＞0．整理得m²+5-4k²＞0． ③
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x，y）满足，．
从而线段MN的垂直平分线方程为．
此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为，．
由题设可得．
整理得，k≠0．
将上式代入③式得，整理得（4k²-5）（4k²-|k|-5）＞0，k≠0．
解得或．
所以k的取值范围是．
点评：本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．