Question

【题目】设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．
（1）若直线y=3x﹣1是函数f（x）图象的一条切线，求实数a的值；
（2）若函数f（x）在[1，e2]上的最大值为1﹣ae（e为自然对数的底数），求实数a的值；
（3）若关于x的方程ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）有且仅有唯一的实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=lnx﹣ax，得f′（x）= =3，

∴x= ，则f（ ）=ln ﹣ ，

∴ln ﹣ = -1，得ln =0，即a=﹣2

（2）解：f′（x）= ，

当a≤ 时，f′（x）≥0在[1，e2]上恒成立，故f（x）在[1，e2]上为增函数，

故f（x）的最大值为f（e2）=2﹣ae2=1﹣ae，得 （舍）；

当 ＜a＜1时，若x∈[1， ]，f′（x）＞0，x∈[ ,2]，f′（x）＜0，

故f（x）在[1，e2]上先增后减，故 ，

f（1）=﹣a，f（e2）=2﹣ae2，

即当 时， ，得 （舍）；

当 时，f（x）max=﹣a=1﹣ae，得a= ；

当a≥1时，故当x∈[1，e2]时，f′（x）≤0，f（x）是[1，e2]上的减函数，

故f（x）max=f（1）=﹣a=1﹣ae，得a= （舍）；

综上，a=

（3）ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）ln（2x2﹣x﹣3t） （2x2﹣x﹣3t）=ln（x﹣t） （x﹣t），

令g（x）=lnx+ ，则g（x）在（0，+∞）上是增函数，

又g（2x2﹣x﹣3t）=g（x﹣t），

∴2x2﹣x﹣3t=x﹣t2（x2﹣x﹣t）=0，

即 ，

作出图象如图：由图可知，实数t的取值范围是t=﹣ 或0＜t＜2．

【解析】（1）求出原函数的导函数，得到x= ，求出f（ ）=ln ﹣ ，代入直线y=3x﹣1求得a值；（2）求出原函数的导函数，然后对a分类得到函数在[1，e2]上的单调性，并进一步求出函数在[1，e2]上的最大值，由最大值等于1﹣ae求得a值；（3）把ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）转化为ln（2x2﹣x﹣3t） （2x2﹣x﹣3t）=ln（x﹣t） （x﹣t），构造函数g（x）=lnx+ ，则g（x）在（0，+∞）上是增函数，得到 ，画出图形，数形结合得答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．