Question

抛物线y²=2px(p＞0)的焦点为F，定点Q(4，0)，过F与x轴不垂直的直线交抛物线于A、B两点，AB中点为N，若·=0，A、B两点到准线的距离之和为6．

(Ⅰ)求抛物线的方程；

(Ⅱ)设T为抛物线准线上任一点，O为坐标原点．求证：TA、TF、TB的斜率成等差数列．

Answer 1

解：(Ⅰ)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则N到准线的距离为

(|AA′|+|BB′|)=[(x₁+)+(x₂+)]

=[(x₁+x₂)+p]=3①

由得,而N(),

则K_NQ=.

∵=0,∴=-1，

∴(x₁+x2)-8=2p，②

由①②得p=2，∴抛物线的方程为y²=4x．

(Ⅱ)设T(-1，t)，TA、TF、TB斜率分别为k₁、k₂、k₃，直线AB：x=my+1，

由得y²-4my-4=0，∴y₁y₂=-4，

∴k₁+k₃=

=

=-t,

又∵k₂= ，∴k₁+k₃=2k₂,

∴k₁、k₂、k₃成等差数列．