Question

已知奇函数f（x）的定义域为（－∞，0）（0，＋∞），且f（x）在（0，＋∞）上是增函数，f（1）＝0．函数g（x）＝＋mx＋1－2m，x∈[0，1]．

　　（Ⅰ）证明函数f（x）在（－∞，0）上是增函数；

　　（Ⅱ）解关于x的不等式f（x）＜0；

　　（Ⅲ）当x∈[0，1]时，求使得g（x）＜0且f [g（x）]＜0恒成立的m的取值范围．

 

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）证明：任取，且，则，且， 　　         f（x）是奇函数，∴  ，  ① 　　       又f（x）在（0，＋∞）上是增函数  ∴  ＞  ② 　　       由①，②得＞，即＜  故函数f（x）在（－∞，0）上是增函数 （Ⅱ）奇函数f（x）满足f（1）＝0，且f（x）在（0，＋∞）上是增函数， 　　  ∴  若x＞0，f（x）＜0，得f（x）＜f（1），因而0＜x＜1  同理可求在x∈（－∞，0）上，若f（x）＜0，则x＜－1． 　　  综上，使f（x）＜0的x的取值范围是：（－∞，－1）（0，1） （Ⅲ）由（Ⅱ）知，f〔g（x）〕＜0，即g（x）＜－1或0＜g（x）＜1 　　  ∴  依题得或得g（x）＜－1， 　　  因此，所求m范围就是关于x的不等式g（x）＜－1， 对任意x∈〔0，1〕恒成立时的m的取值范围．由g（x）＜－1，得  ， 　　即＝－〔〕＋4 　　∵    ∴  －〔〕＋4≤ 　　当且仅当2－x＝，即时，等号成立．     从而得出．