Question

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1）．数列{a_n}中，对任何正整数n，等式（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0都成立，且a₁=2，当n≥2时，a_n≠1；设b_n=a_n-1．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设S_n为数列{nb_n}的前n项和，Tn=Sn+

n•3n

4n-1

+

3n

4n-2

，求

lim

n→∞

Tn的值．

Answer 1

分析：（1）将a_n代入到函数g（x）、f（x）中对式子（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0进行整理可得到（a_n-1）•（4a_n+1-3a_n-1）=0，
再由a_n≠1可得到4a_n+1-3a_n-1=0，即an+1=

3

4

an+

1

4

.再代入到b_n+1=a_n+1-1中即可得到bn+1=

3

4

bn，从而得数列{b_n}的通项公式．
（2）根据数列{b_n}的通项公式可得到nbn=n(

3

4

)n-1、Sn=1+2•(

3

4

)1+3•(

3

4

)2++n•(

3

4

)n-1，再由错位相减法可求出S_n的值，经过整理可求出Tn=Sn+

n•3n

4n-1

+

3n

4n-2

的值，最后再取极限即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）∵（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0
∴（a_n-1）•（4a_n+1-3a_n-1）=0．
根据已知，a_n≠1∴4an+1-3an-1=0?an+1=

3

4

an+

1

4

.
∵b₁=a₁-1=1，
bn+1=an+1-1=

3

4

an+

1

4

-1=

3

4

(an-1)=

3

4

bn，
∴{b_n}是b₁=1，公比q=

3

4

的等比数列．
∴bn=(

3

4

)n-1
（Ⅱ）∵bn=(

3

4

)n-1，nbn=n(

3

4

)n-1
∴Sn=1+2•(

3

4

)1+3•(

3

4

)2++n•(

3

4

)n-1①

3

4

Sn=

3

4

+2•(

3

4

)2+3•(

3

4

)3++(n-1)•(

3

4

)n-1+n•(

3

4

)n②
①-②得

1

4

Sn=1+

3

4

+(

3

4

)2+(

3

4

)3+…+(

3

4

)n-1-n•(

3

4

)n=

1-( 3 4 )n

1- 3 4

-n•(

3

4

)n
∴S_n=16-4（n+4）(

3

4

)n
而Tn=Sn+

n•3n

4n-1

+

3n

4n-2

=16
∴

lim

n→∞

Tn=16

点评：本题主要考查数列通项公式的求法和数列求和的错位相减法以及求极限的方法．考查综合运算能力．