Question

设f₁（x）=

2

1+x

，f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，且a_n=

fn(0)-1

fn(0)+2

，n∈N^*，则a₂₀₀₉等于（　　）

• A．（

  1

  2

  ）²⁰¹⁰
• B．（-

  1

  2

  ）²⁰⁰⁹
• C．（

  1

  2

  ）²⁰⁰⁸
• D．（-

  1

  2

  ）²⁰⁰⁷

Answer 1

分析：根据f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，a_n=

fn(0)-1

fn(0)+2

，可得{a_n}构成以a₁为首项，q=-

1

2

为公比的等比数列，根据f₁（x）=

2

1+x

，可得a₁=

f1(0)-1

f1(0)+2

=

1

4

，从而可得a_n=

1

4

•（-

1

2

）^n-1，故可求a₂₀₀₉．

解答：解：∵f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，a_n=

fn(0)-1

fn(0)+2

∴a_n=

2-fn-1(0)-1

2+fn-1(0)+2

=-

1

2

•

fn-1(0)-1

fn-1(0)+2

=-

1

2

a_n-1（n≥2），
∴{a_n}构成以a₁为首项，q=-

1

2

为公比的等比数列．
∵f₁（x）=

2

1+x

，
∴a₁=

f1(0)-1

f1(0)+2

=

1

4

∴a_n=

1

4

•（-

1

2

）^n-1，
则a₂₀₀₉=

1

4

×（-

1

2

）^2009-1=（

1

2

）²⁰¹⁰．
故选A．

点评：本题考查等比数列的判定，考查等比数列的通项，考查函数与数列的结合，判定数列为等比数列是我们解题的关键．