Question

已知函数f（x）=e^x-mx，
（1）当m=1时，求函数f（x）的最小值：
（2）若函数g（x）=f（x）-lnx+x²存在两个零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当m=1时，f′（x）=e^x-1，当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0，由此能求出当m=1时，函数f（x）的最小值．
（2）由g（x）=f（x）-lnx+x²=0，得m=

ex-lnx+x2

x

，令h(x)=

ex-lnx+x2

x

，由此能求出函数g（x）=f（x）-lnx+x²存在两个零点时m的取值范围．

解答：解：（1）当m=1时，f（x）=e^x-x，
∴f′（x）=e^x-1，
当x＜0时，f′（x）＜0，
当x＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）_min=f（x）=1．
（2）由g（x）=f（x）-lnx+x²=0，
得m=

ex-lnx+x2

x

，
令h(x)=

ex-lnx+x2

x

，
则h′(x)=

(x-1)ex+x2-1+lnx

x2

，
观察得x=1时，h′（x）=0．
当x＞1时，h′（x）＞0，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，
∴h（x）_min=h（1）=e+1，
∴函数g（x）=f（x）-lnx+x²存在两个零点时m的取值范围是（e+1，+∞）．

点评：本题考查函数最小值的求法和函数存在两个零点时求m的两个取值范围．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的应用．