Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为8，E、F分别为AD₁，CD₁中点，G、H分别为棱DA，DC上动点，且EH⊥FG．
（1）求GH长的取值范围；
（2）当GH取得最小值时，求证：EH与FG共面；并求出此时EH与FG的交点P到直线B₁B的距离．

Answer 1

分析：（1）以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设DG=a，DH=b可得E、F、G、H各点的坐标，得到

EH

、

FG

坐标，根据

EH

•

FG

=0，解出b=4-a，根据距离公式得到GH=

a2+b2

=

2(a-2)2+8

，结合二次函数的性质即可得到GH长的取值范围；
（2）由（1）知当a=b=2时，GH取得最小值．由此算出EF∥GH，即EH与FG共面，得

EP

=(-

8

3

，   

4

3

，   -

8

3

)，设P（x₁，y₁，z₁），得到

EP

=（x₁-4，y，z₁-4），从而建立关于x₁、y₁、z₁的方程组，解之得P在ABCD平面上的射影M的坐标，结合两点间的距离公式即可算出P到直线B₁B的距离．

解答：解：（1）以D为原点，DA、DC、DD₁分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设DG=a，DH=b，可得
E（4，0，4），F（0，4，4），G（a，0，0），H（0，b，0）．
∴

EH

=（-4，b，-4），

FG

=（a，-4，-4）．
∵EH⊥FG，∴

EH

•

FG

=-4a-4b+16=0，则a+b=4，即b=4-a．
又G₁H在棱DA，DC上，则0≤a≤8，0≤b≤8，从而0≤a≤4．
∴GH=

a2+b2

=

a2+(4-a)2

=

2(a-2)2+8

．
∴GH取值范围是[2

2

，4]．        …（6分）
（2）当GH=2

2

时，a=2，b=2．
∴

GH

=（-2，2，0），

EF

=（-4，4，0），即

EF

=2

GH

．
∴EF∥GH，即EH与FG共面．
所以EF=2GH，EF∥GH，则

EP

=

2

3

EH

=(-

8

3

，   

4

3

，   -

8

3

)．
设P（x₁，y₁，z₁），则

EP

=（x₁-4，y，z₁-4）．
∴x₁=

4

3

，y₁=

4

3

，z₁=

4

3

，即P（

4

3

，

4

3

，

4

3

）．
则P（

4

3

，

4

3

，

4

3

）在底面上ABCD上的射影为M（

4

3

，

4

3

，0）．
又∵B（8，8，0），
∴|MB|=

(8- 4 3 )2+(8- 4 3 )2+(0-0)2

=

20

3

2

，即为点P到直线B₁B的距离．…（12分）

点评：本题在正方体中求点到直线的距离，着重考查了空间直角坐标系的建立、利用空间向量的方法求点线距离和正方体的性质等知识，考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题．