Question

如图，在三棱锥中，底面，，为的中点， 为的中点，，.

（1）求证：平面；
（2）求与平面成角的正弦值；
（3）设点在线段上，且，平面，求实数的值.

Answer 1

（1）详见解析；（2）；（3）.

试题分析：（1）求证：平面，证明线面垂直，先证线线垂直，即证线和平面内两条相交直线垂直，注意到为的中点，且，则，再找一条直线与垂直即可，由已知底面，既得，可证平面，即可，由已知，这样平面，从而，问题得证．（2）求与平面成角的正弦值，求线面角，即求线和射影所成的角，本题找射影相对困难，可用向量法，首先建立空间坐标系，先找三条两两垂直的直线作为坐标轴，在平面中，过点作因为 平面，所以 平面，由 底面，得，，两两垂直，这样以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出平面的一个法向量，利用线面角的正弦值等于线和法向量的夹角的余弦值即可求出与平面成角的正弦值；（3）求实数的值，由于点在线段上，且平面，由，求出的坐标，再求出平面的一个法向量，利用线面平行，既线和法向量垂直，即线对应的向量和法向量数量积等于零，即可求出的值．
（1）因为 底面，底面，所以 ，      1分
又因为 ， ， 所以 平面，             2分
又因为 平面，所以 .                3分
因为 是中点，
所以 ，又因为 ，所以 平面.             5分
（2）在平面中，过点作因为 平面，所以 平面，
由 底面，得，，两两垂直，
所以以为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系，                                                
则，，，，，.  6分
设平面的法向量为，因为 ，，由  得 ，令，得.            8分

设与平面成角为，因为 ，
所以 ，
即 .        10分
（3）因为 ，，所以 ，
又因为 ，所以 .        12分
因为 平面，平面的法向量，所以 ，
解得 .         14分