Question

【题目】如图，在矩形中，将沿对角线折起，使点到达点的位置，且平面平面.

（1）求证：；

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由四边形是矩形，得，推导出平面，可得出，再由，可得出平面，由此能证明；

（2）过作于点，则平面，以所在直线为轴，过作轴平行于，为轴，建立空间直角坐标系，由平面，得出直线与平面所成角为，设，可得，然后利用空间向量法能求出二面角的余弦值.

（1）由四边形是矩形，得，

平面平面，平面平面，平面，平面，

平面，则，

又，，平面，

平面，；

（2）过作，垂足为点，

平面平面，平面平面，平面，平面，

以点为坐标原点，以所在直线为轴，过作轴平行于，以所在直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，

由（1）知平面，是直线与平面所成角，即，

在中，，

设，则，，

平面，可取平面的一个法向量，

由（1）知，，在中，，，，，

，，，

，，，

，，

设平面的法向量，

由，取，则，，

所以，平面的一个法向量为，

.

由图形可知，二面角的平面角为锐角，它的余弦值为.