Question

设

(Ⅰ)的图象关于原点对称，当时，的极小值为，求的解析式。

(Ⅱ)若，是上的单调函数，求的取值范围

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】

试题分析：(Ⅰ)由题意知，函数是奇函数，利用奇函数的定义可求出，由函数在处取得极小值为，可得，，进而求出在，一般地，多项式函数为奇函数，则偶次项系数为0，连续可导的函数在某点处取得极值，则该点处导数为0，但连续可导的函数在某点处导数为0，则该处不一定取得极值，所以用以上方法求出函数解析式后，还需进行验证；(Ⅱ)函数在某区间上是单调函数，则导函数在该区间上导数大于等于0恒成立，所以问题又转化为不等式恒成立问题，本题导函数是二次函数，其恒成立问题可用判别式判断，也可分离参数转化为最值问题.

试题解析：(Ⅰ)因为的图象关于原点对称，所以有即，       1分

所以，

所以，

所以      3分

由，  依题意，，  ，

解之，得      6分

经检验符合题意       7分

故所求函数的解析式为.

(Ⅱ)当时，，，

因为是上的单调函数，所以恒成立，

即恒成立       8分

即成立，所以      12分

考点：奇函数、导数与单调性、极值.