Question

已知m、n、s、t∈R⁺，m+n=2，

m

s

+

n

t

=9其中m、n是常数，且s+t的最小值是

4

9

，满足条件的点（m、n）是圆（x-2）²+（y-2）²=4中一弦的中点，则此弦所在的直线方程为

x+y-2=0

．

Answer 1

分析：根据s+t的最小值是

4

9

，根据均值不等式求得(s+t)(

m

s

+

n

t

)的最下值，进而求得此时的m和n，进而根据圆心坐标求得弦所在的直线的斜率，最后利用点斜式求得直线的方程．

解答：解：∵(s+t)(

m

s

+

n

t

)=m+n+

tm

s

+

sn

t

≥m+n+2

mn

，（m=n时取等号）
∴m+n+2

mn

=4，
∴mn=1，得m=n=1得点（1，1），
∵已知圆的圆心为（2，2），
∴所求之弦的斜率为-

1-2

1-2

=-1，
从而弦方程为x+y-2=0．
故答案为：x+y-2=0

点评：本题考查基本不等式、圆、直线方程等相关知识，其中整体代换是解题技巧，数形结合是解题思想解题探究．