Question

（本小题满分14分）
设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列．
（1）证明：为等比数列；
（2）设，求数列的前项和．

Answer 1

（1）略
（2）Sn= –（n+）·

解：（Ⅰ）将直线y=x的倾斜角记为，
则有tan = ，sin =．…………．1分
设Cn的圆心为（，0），则由题意知= sin = ，
得 = 2；    ……… …………．3分
同理，依题意知   ………………5分
将 = 2代入，
解得 rn+1=3rn．
故{ rn }为公比q=3的等比数列．                  ………………7分
（Ⅱ）由于r1=1，q=3，故rn=3n-1，从而 =n·，………………9分
记Sn=，
则有 Sn=1+2·3-1+3·3-2+………+n·．  ①
=1·3-1+2·3-2+………+（n-1） ·+n·． ②        ………………11分
①-②，得
="1+3-1" +3-2+………+-n·        ………………………12分
=- n·
= –（n+）·         ………………………………13分
Sn= –（n+）·．     ………………………………14分