Question

已知△ABC 的内角A、B、C所对的边为a，b，c，

m

=(bsinA，a-acosB)，

n

=(2，0)，且

m

与

n

所成角为

π

3

．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过

m

与

n

所成角为

π

3

．推出A，B的关系式，利用正弦定理化简，通过两角和的正弦函数，求出角B的大小；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的B的大小，推出A+C是值，把sinA+sinC化为一个角的三角函数的形式，然后求解它的取值范围．

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵

m

=(bsinA，a-acosB)与向量

n

=(2，0)所成角为

π

3

，∴

a-acosB

bsinA

=

3

，
由正弦定理可得：

sinA-sinAcosB

sinBsinA

=

3

∴

1-cosB

sinB

=

3

，∴

3

sinB+cosB=1，∴sin(B+

π

6

)=

1

2

．
又∵0＜B＜π，
∴

π

6

＜B+

π

6

＜

7π

6

∴B+

π

6

=

5π

6

，
∴B=

2π

3

…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，B=

2π

3

，∴A+C=

π

3

∴sinA+sinC=sinA+sin（

π

3

-A）=

1

2

sinA+

3

2

cosA=sin（

π

3

+A）．
∵0＜A＜

π

3

，∴

π

3

＜A+

π

3

＜

2π

3

．
所以sinA+sinC的范围为(

3

2

，1]．…（12分）

点评：本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，向量的数量积，考查转化思想以及计算能力．