Question

（2013•朝阳区二模）如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．
（Ⅰ）求证：FG∥平面PED；
（Ⅱ）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；
（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为60°？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三角形的中位线定理得到线线平行，然后直接利用线面平行的判定定理得到线面平行；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，根据两个平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，由两个平面法向量所成的角求解二面角的大小；
（Ⅲ）假设存在点M，由共线向量基本定理得到M点的坐标，其中含有一个未知量，然后利用直线FM与直线PA所成的角为
60°转化为两向量所成的角为60°，由两向量的夹角公式求出M点的坐标，得到的M点的坐标符合题意，说明假设成立，最后得到结论．

解答：（Ⅰ）证明：因为F，G分别为PB，BE的中点，所以FG∥PE．
又FG?平面PED，PE?平面PED，所以FG∥平面PED．
（Ⅱ）解：因为EA⊥平面ABCD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥CD．
又因为四边形ABCD是正方形，所以AD⊥CD．
如图建立空间直角坐标系，

因为AD=PD=2EA，所以D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），
C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1）．
因为F，G，H分别为PB，EB，PC的中点，所以F（1，1，1），G（2，1，

1

2

），H（0，1，1）．
所以

GF

=(-1，0，

1

2

)，

GH

=(-2，0，

1

2

)，
设

n1

=(x1，y1，z1)为平面FGH的一个法向量，则

n1 • GF =0 n1 • GH =0

，即

-x1+ 1 2 z1=0 -2x1+ 1 2 z1=0

，
再令y₁=1，得

n1

=(0，1，0)．

PB

=(2，2，-2)，

PC

=(0，2，-2)，
设

n2

=(x2，y2，z2)为平面PBC的一个法向量，则

n2 • PB =0 n2 • PC =0

，即

2x2+2y2-2z2=0 2y2-2z2=0

，
令z₂=1，得

n2

=(0，1，1)．
所以|cos＜

n1

，

n2

＞|=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

|(0，1，0)•(0，1，1)|

1× 2

=

2

2

．
所以平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为

π

4

．
（Ⅲ）在线段PC上存在点M，使直线FM与直线PC所成角为60°
证明：假设在线段PC上存在点M，使直线FM与直线PC所成角为60°．
依题意可设

PM

=λ

PC

，其中0≤λ≤1．
由

PC

=(0，2，-2)，则

PM

=(0，2λ，-2λ)．
又因为

FM

=

FP

+

PM

，

FP

=(-1，-1，1)，
所以

FM

=(-1，2λ-1，1-2λ)．
又直线FM与直线PA成60°角，

PA

(2，0，-2)，
所以|cos＜

FM

，

PA

＞|=

1

2

，即

1

2

=

|-2-2+4λ|

2 2 • 1+2(2λ-1)2

，解得：λ=

5

8

．
所以

PM

=(0，

5

4

，-

5

4

)，|

PM

|=

0+2×( 5 4 )2

=

5 2

4

．
所以，在线段PC上存在点M，使直线FM与直线PC所成角为60°，此时PM的长为

5 2

4

．

点评：本题考查了线面平行的判定，考查了线线角和面面角，训练了利用平面法向量求解二面角的大小，解答此类问题的关键是正确建系，准确求用到的点的坐标，此题是中档题．