Question

【题目】如图， 是边长为的菱形， ， 平面， 平面， .

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（I）连接，根据菱形的性质可知，结合，可得平面，垂直同一个平面的两条直线平行，故四点共面，故.（2）以为坐标原点，分别以， 的方向为轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系.计算直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角公式求得线面角的正弦值.

试题解析：

（Ⅰ）证明：连接，

因为是菱形，所以.

因为平面， 平面，

所以.

因为，所以平面.

因为平面， 平面，所以.

所以， ， ， 四点共面.

因为平面，所以.

（Ⅱ）如图，以为坐标原点，分别以， 的方向为轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系.

可以求得， ， ， ， .

所以， .

设平面的法向量为，

则即

不妨取，则平面的一个法向量为.

因为，

所以 .

所以直线与平面所成角的正弦值为.