Question

甲和乙参加智力答题活动，活动规则：①答题过程中，若答对则继续答题；若答错则停止答题；②每人最多答3个题；③答对第一题得10分，第二题得20分，第三题得30分，答错得0分．已知甲答对每个题的概率为

3

4

，乙答对每个题的概率为

1

3

．
（Ⅰ）求甲恰好得30分的概率；
（Ⅱ）设乙的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）求甲恰好比乙多30分的概率．

Answer 1

分析：（1）要求甲恰好得30分的概率，我们分析活动规则后可得，甲恰好得30分，说明甲前两题都答对，而第三题答错，代入分步事件概率公式即可得到答案．
（2）设乙的得分为ξ，则ξ的取值为0，10，30，60，我们根据活动规则，分析出ξ取不同值时的情况，代入概率公式即可求解．（3）要求甲恰好比乙多30分的概率，我们要先分析甲恰好比乙多30分的发生情况，由（2）的结论，共有两种情况，即甲恰好得30分且乙恰好得0分，或是甲恰好得60分且乙恰好得30分，代入概率公式即可求解．

解答：解：（I）甲恰好得30分，说明甲前两题都答对，而第三题答错，
其概率为(

3

4

)2(1-

3

4

)=

9

64

（II）ξ的取值为0，10，30，60
P(ξ=0)=1-

1

3

=

2

3

，
P(ξ=10)=(1-

1

3

)•(

1

3

)=

2

9

，
P(ξ=30)=

1

3

•

1

3

•(1-

1

3

)=

2

27

，
P(ξ=60)=(

1

3

)3=

1

27

ξ的概率分布如下表：
E(ξ)=0×

2

3

+10×

2

9

+30×

2

27

+60×

1

27

=

20

3

（III）设甲恰好比乙多30分为事件A，
甲恰好得30分且乙恰好得0分为事件B₁，
甲恰好得60分且乙恰好得30分为事件B₂，
则A=B₁∪B₂，B₁，B₂为互斥事件．
P(A)=P(B1)+P(B2)=(

3

4

)2•

1

4

•

2

3

+(

3

4

)3•

2

27

=

1

8

．
所以，甲恰好比乙多30分的概率为

1

8

点评：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．