Question

（2013•宝山区二模）在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为A₁B₁，CD的中点．
（1）求直线EC与平面B₁BCC₁所成角的大小；
（2）求二面角E-AF-B的大小．

Answer 1

分析：（1）通过建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量的夹角即可得出线面角；
（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角的大小．

解答：（1）解：建立坐标系如图 所示，
则平面B₁BCC₁的一个法向量为

n1

=(0，1，0)
∵E（2，1，2），C（0，2，0），
∴

EC

=(-2，1，-2)，
可知直线EC的一个方向向量为

d

=(-2，1，-2)．
设直线EC与平面B₁BCC₁成角为θ，
则sinθ=|cos＜

d

，

n1

＞|=

| d • n1 |

| d | | n1 |

=

1

9 ×1

=

1

3

．
故直线EC与平面B₁BCC₁所成角的大小为arcsin

1

3

．
（2）由（1）可知：平面ABCD的一个法向量为

n

=(0，0，1)．
设平面AEF的一个法向量为

n2

=(x，y，z)，
∵

AF

=(-2，1，0)，

AE

=(0，1，2)，∴

n2 • AF =0 n2 • AE =0

．得

-2x+y=0 y+2z=0

，
令x=1，则y=2，z=-1⇒

n2

=(1，2，-1)，
∴cos＜

n

，

n2

＞=

| n • n2 |

| n | | n2 |

=

1

6

=

6

6

．
由图知二面角E-AF-B为锐二面角，故其大小为arccos

6

6

．

点评：本题考查了：通过建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量的夹角得出线面角；利用两个平面的法向量的夹角得到二面角的方法．必须熟练掌握．