Question

（2009•温州二模）已知曲线C：f（x）=x³-ax+a，
（Ⅰ）若f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）过C外一点A（1，0）引C的两条切线，若它们的倾斜角互补，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用导数与单调性的关系转化为最值恒成立问题．
（Ⅱ）通过导数求出切线斜率，利用切线的倾斜角互补，建立斜率关系，可求a．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的导数为f'（x）=3x²-a，
因为f（x）在区间[1，2]上是增函数，
所以f'（x）≥0在区间[1，2]上恒成立． 
即a≤3x²恒成立．
因为当1≤x≤2时，
3x²≥3，
可得a≤3．  
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=3x²-a，过点A（1，0）作曲线C的切线，
设切点（x₀，f（x₀）），
则切线方程为：y=（3x₀-a）（x-1）
因为f(x0)=

x

3 0

-ax0+a，
所以将（x₀，f（x₀））代入得：
f(x0)=

x

3 0

-ax0+a=（3x₀-a）（x₀-1），
整理得2

x

3 0

-3x0=0   （*）
解得x₀=0或x₀=

3

2

         
故满足条件的切线只有两条，且它们的斜率分别为-a与

27

4

-a，
因为两条切线的倾斜角互补，
所以-a+

27

4

-a=0，
解得a=

27

8

．

点评：本题考查导数的单调性与导数之间的关系，以及利用导数求切线方程．