Question

已知l₁、l₂是过点P(-,0)的两条互相垂直的直线，且l₁、l₂与双曲线y²-x²=1各有两个交点，分别为A₁、B₁和A₂、B₂.

（1）求l₁的斜率k₁的取值范围；

（2）若｜A₁B₁｜=｜A₂B₂｜，求l₁、l₂的方程.

Answer 1

解：(1)显然l₁、l₂斜率都存在，否则l₁、l₂与曲线不相交.设l₁的斜率为k₁，则l₁的方程为y=k₁（x+）.

    联立得消去y得

    （k₁²-1）x²+22k₁²x+2k₁²-1=0.                ①

    根据题意得k₁²-1≠0,                                    ②

    Δ₁＞0，即有12k₁²-4＞0.                             ③

    完全类似的有-1≠0,                                ④

    Δ₂＞0，即有12·-4＞0,                          ⑤

    从而k₁∈（-，-）∪（，）且k₁≠±1.

    (2)由弦长公式得

    ｜A₁B₁｜=.                 ⑥

    完全类似的有

    ｜A₂B₂｜=.             ⑦

    ∵｜A₁B₁｜=｜A₂B₂｜,

    ∴k₁=±，k₂=.

    从而l₁：y=（x+），l₂：y=-（x+）或l₁：y=-（x+），l₂：y=（x+）．