Question

【题目】如图，在四棱柱中；

已知三个论断：（1）四棱柱是直四棱柱；（2）底面是菱形；（3）．

以其中两个论断作条件，余下一个为结论，可以得到三个命题，其中有几个是真命题？说明理由．

Answer 1

【答案】1个；理由见解析

【解析】

分别写出三个命题然后逐一判断．

解：以（1）、（2）作为条件，（3）为结论：即为直四棱柱，底面为菱形，则侧棱底面．

∴在上底面上的射影为．又底面为菱形，∴．

由三垂线定理得，这一命题为真．

以（2）、（3）为条件，（1）为结论：为菱形，∴．

又，∴平面．∴．

但侧棱未必垂直于底面．事实上，若侧棱倾斜，但保持与垂直（这是可以做到的），则必符合条件（2）、（3），故此四棱柱不一定是直四棱柱．

若（1）、（3）为条件，（2）为结论：在底面上的射影为，又，由三垂线定理的逆定理得，即四边形的对角线互相垂直，但这样的四边形未必是菱形．

由以上分析知，真命题只有1个，即（1）（2）（3）．