Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线的参数方程为（， 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程，并讨论两曲线公共点的个数；

（2）若，求由两曲线与交点围成的四边形面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）当或时，两曲线有两个公共点；

当时，两曲线有四个公共点；

当或时，两曲线无公共点.

（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）利用消去参数，求得椭圆的普通方程为，将圆的极坐标方程两边平方，可求得圆的直角坐标方程为.故当或时，两曲线有两个公共点；当时，两曲线有四个公共点；当或时，两曲线无公共点.（2）根据椭圆和圆的对称性可知，四边形也关系轴和原点对称，设四边形第一象限的点为，利用面积公式可求得最大面积为.

试题解析：

（1）， .

当或时，两曲线有两个公共点；

当时，两曲线有四个公共点；

当或时，两曲线无公共点.

（2）由于曲线与曲线关于轴、轴以及原点对称，

所以四边形也关于轴、轴以及原点对称.

设四边形位于第一象限的点为，

则四边形的面积为

.

当且仅当，即时，等号成立.