Question

设
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)的零点个数.

Answer 1

(1)见解析；(2)见解析.

试题分析：(1)先由对数函数的定义求得函数的定义域，然后对函数求导，对的取值进行分类讨论，根据函数的单调性与导数的关系求得每种情况下的函数的单调区间；(2) 对的取值进行分类讨论，当时分和两种情况，由， ，结合零点存在性定理可知在上有一个零点；当时，根据函数的单调性求得函数的极小值，对极小值与0的关系分三种情况进行分类讨论，结合零点存在性定理求得每种情况下的函数的零点个数.
试题解析：(1) 的定义域是，          1分
∵ ，          2分
当时，，是的增区间，    3分
当时，令，，（负值舍去）
当时，；当时，      5分
所以是的减区间，是的增区间.       6分
综合：当时，的增区间是；
当时，的减区间是，的增区间是.         7分
(2)由(1)知道当时，在上是增函数，当时有零点，     8分
当时，， ，       .9分
(或当时，；当时，)，
所以在上有一个零点，                     10分
当时，由(1)知，在上是减函数，在上是增函数，所以当是，有极小值，其最小值为.             11分
当，即时，无零点，
当，即时，有一个零点，
当，即时，有2个零点.           13分
综合：当时，无零点；
当时，有一个零点；
当时，有个零.        14分