Question

(本小题满分12分)已知数列各项均不为0，其前项和为，且对任意都有（为大于1的常数），记．
(1) 求；
(2) 试比较与的大小（）；
(3) 求证：

Answer 1

（1）（2）由(1)可得，结合整体思想来得到比较大小
（3）由(2)知 ，，（）．结合放缩法来得到证明。

试题分析：解：(1) ∵，①  ∴．②
②－①，得，即．  （3分）  在①中令，
可得．∴是首项为，公比为的等比数列，． （4分）
(2) 由(1)可得．
．
∴，   （5分）
．而，且，
∴，．∴，（）．（8分）
(3) 由(2)知 ，，（）．
∴当时，．
∴，（10分）（当且仅当时取等号）．
另一方面，当，时，


．
∵，∴．
∴，（当且仅当时取等号）．（13分）
∴．（当且仅当时取等号）．
综上所述，，（）．（14分）
点评：考查了数列的通项公式与前n项和关系的运用，以及能结合已知给定的不等式来放缩法得到证明。