Question

已知递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，a₃+2是a₂与a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）假设b_n=

an

(an+1)(an+1+1)

，其数列{b_n}的前n项和T_n，并解不等式T_n＜

127

390

．

Answer 1

（1）∵递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，a₃+2是a₂与a₄的等差中项，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄，a₃=8，a₂+a₄=80，
∴

a1q2=8 a1q+a1q3=20

，
解得a₁=2，q=2，或a1=32，q=

1

2

（舍），
∴an=2n．
（2）b_n=

an

(an+1)(an+1+1)

=

2n

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2n+1

-

1

2n+1+1

，
∴T_n=

1

2+1

-

1

22+1

+

1

22+1

-

1

23-1

+…+

1

2n-1+1

-

1

2n+1

+

1

2n+1

-

1

2n+1+1

=

1

2+1

-

1

2n+1+1

=

1

3

-

1

2n+1+1

，
∵T_n＜

127

390

，
∴

1

3

-

1

2n+1+1

＜

127

130

，∴2ⁿ⁺¹＜129，解得n≤6，
∴不等式T_n＜

127

390

的解集为{1，2，3，4，5，6}．