Question

【题目】（本小题满分13分）

如图5，已知点是圆心为半径为1的半圆弧上从点数起的第一个三等分点，是直径，，平面，点是的中点.

（1）求二面角的余弦值.

（2）求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】

试题分析：想求二面角的余弦值，得需要建立适当的坐标系，根据题中所给的条件，可以得出从一个起点出发的三条互相垂直的直线，符合建立坐标系的条件，求出相应的面的法向量，从而得出二面角的余弦值，对于第二问，可以通过三棱锥的体积相等来处理，也可以通过某个向量在法向量上的投影的问题来解决.

试题解析：

解 ：（1）∵是圆心为半径为1的半圆弧上

从点数起的第一个三等分点，∴∠AOC=60，

∴是等边三角形，

∴. (1分)

∵C是圆周上的点，AB是直径，∴，∴ (2分)

又平面，∴两两垂直. 以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正向，建立空间直角坐标系，则，，，，，， （3分）

于是，，，. (4分)

设为平面的法向量，为平面的法向量，

，，取得. (5分)

，，

取得. (6分)

， （7分）

因此，二面角的余弦值是. (8分)

（2）方法一：由（1）知 （9分）

设为平面的法向量，则

，即，取得. (10分)

设向量和所成的角为，则(12分)

设点到平面的距离为，则. (13分)

方法二：由（1）知，

因为直线平面，所以，，，

于是，，

.

因为，点是的中点，所以. （9分）

因此，， (10分)

从而，， (11分)

. (12分)

因为，，设点到平面的距离为，则有，即，于是，. (13分)